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Tenemos que resolver la ecuación $\sin(3 x)=-\frac{1}{2}$. Vamos a resolverla primero de manera general y después nos quedamos sólo con las soluciones que pertenecen al intervalo que nos piden, $[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}]$.
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7.
Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
b) $\operatorname{sen}(3 x)=-\frac{1}{2}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]$
b) $\operatorname{sen}(3 x)=-\frac{1}{2}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]$
Respuesta
⚠️ No creo que haga falta aclararlo, pero para resolver todos los ejercicios de este item es indispensable que primero hayas visto las tres clases de Funciones Trigonométricas (principalmente la primera y la tercera).
Lo primero que nos conviene pensar es en la circunferencia unitaria, entre $0$ y $2\pi$, y pensar para qué ángulos $\sin(x) = -\frac{1}{2}$. Acordate que el seno es negativo en el tercer y en el cuadrante, y sabemos que en el primer cuadrante $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Por lo tanto, buscamos los ángulos "equivalentes" a $\frac{\pi}{6}$ en el tercer y cuarto cuadrante. Nos queda:
✅ Tercer cuadrante: $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6} \pi$
✅ Cuarto cuadrante: $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6} \pi$
Muy bien, o sea que todas las soluciones de la ecuación $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ son:
$x = \frac{7}{6} \pi + 2k\pi$ y $x = \frac{11}{6} \pi + 2k\pi$
Ahora hay que ajustar varias cosas acá, porque nuestra ecuación es $\sin(3x) = -\frac{1}{2}$. Entonces, como vimos en clase, lo que hacemos es igualar las soluciones que obtuvimos recién a $3x$
Primer grupo de soluciones
$3x = \frac{7}{6} \pi +2k\pi$
Despejamos $x$
$x = \frac{7}{18} \pi +\frac{2}{3}k\pi$
Ahora empezamos a probar con distintos valores de $k$ para ver cuáles de todas estas infinitas soluciones caen en nuestro intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}]$
- Para $k = -1$, $x = -\frac{5\pi}{18}$, que está en el intervalo
- Para $k = 0$, $x = \frac{7\pi}{18}$, que está en el intervalo.
- Para $k = 1$, $x = \frac{19\pi}{18}$, que también está en el intervalo.
- Para $k = 2$, $x = \frac{31\pi}{18}$, que todavía está en el intervalo.
- Para $k = 3$, $x = \frac{43\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.
- Para $k = 4$, $x = \frac{55\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.
Con $k = 5$ ya nos pasamos y la solución no está en el intervalo. Y aclaración, lo mismo probá con $k=-2$ que tampoco está en el intervalo. Por lo tanto, estas son todas las soluciones que obtenemos de esta primera tanda. Vamos ahora a buscar las otras.
Segundo grupo de soluciones
$3x = \frac{11}{6} \pi +2k\pi$
Despejamos $x$
$x = \frac{11}{18} \pi +\frac{2}{3}k\pi$
De nuevo, empezamos a probar con distintos valores de $k$ para ver cuáles de todas las soluciones caen en nuestro intervalo:
- Para $k = -1$, $x = -\frac{\pi}{18}$, que está en el intervalo.
- Para $k = 0$, $x = \frac{11\pi}{18}$, que está en el intervalo.
- Para $k = 1$, $x = \frac{23\pi}{18}$, que también está en el intervalo.
- Para $k = 2$, $x = \frac{35\pi}{18}$, que todavía está en el intervalo.
- Para $k = 3$, $x = \frac{47\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.
- Para $k = 4$, $x = \frac{59\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.
Y acá frenamos, porque con $k = 5$ ya me pasé del intervalo. Lo mismo, si vas para atrás, con $k=-2$ también ya te saliste fuera del intervalo. Y bueno, estas son toooodas las otras soluciones que salieron de esta tanda. Las soluciones a la ecuación del enunciado son todas estas más las de la primera tanda.
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